Question

15．設點P（x，y）滿足：$\left\{\begin{array}{l}{x+y-3≤0}\\{x-y+1≥0}\\{x≥1}\\{y≥1}\end{array}\right.$，則$\frac{y}{x}$+$\frac{x}{y}$的取值范圍是（　�。�

• A． （2，$\frac{5}{2}$）
• B． [$\frac{1}{3}$，+∞）
• C． （$\frac{1}{3}$，+∞）
• D． （0，$\frac{1}{2}$）

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，數(shù)形結(jié)合求出$\frac{y}{x}$的取值范圍，再由函數(shù)y=x+$\frac{1}{x}$的單調(diào)性求得答案．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x+y-3≤0}\\{x-y+1≥0}\\{x≥1}\\{y≥1}\end{array}\right.$作出可行域如圖，

聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{x+y-3=0}\end{array}\right.$，解得：C（1，2），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=1}\\{x+y-3=0}\end{array}\right.$，解得：B（2，1），
∵${k}_{OB}=\frac{1}{2}，{k}_{OC}=2$，
∴$\frac{y}{x}$的范圍為[$\frac{1}{2}，2$]，
令t=$\frac{y}{x}$∈[$\frac{1}{2}，2$]，
∴$\frac{y}{x}$+$\frac{x}{y}$=t+$\frac{1}{t}$的最小值為2，當t=2或t=$\frac{1}{2}$時有最大值為$\frac{5}{2}$．
故選：A．

點評 本題考查了簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．