Question

1．在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為圓心的圓與直線x-$\sqrt{3}$y-4=0相切．
（Ⅰ）求圓O的方程；
（Ⅱ）若已知點(diǎn)P（3，2），過點(diǎn)P作圓O的切線，求切線的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)半徑即為圓心到切線的距離求得半徑r的值，可得所求的圓的方程．
（Ⅱ）由題意可得點(diǎn)P在圓外，用點(diǎn)斜式設(shè)出切線的方程，再根據(jù)圓心到切線的距離等于半徑，求得斜率k的值，可得所求切線方程．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)圓的方程為x²+y²=r²，由題可知，半徑即為圓心到切線的距離，故r=$\frac{4}{\sqrt{4}}$=2，
∴圓的方程是x²+y²=4．
（Ⅱ）∵|OP|=$\sqrt{9+4}$=$\sqrt{13}$＞2，∴點(diǎn)P在圓外．
顯然，斜率不存在時(shí)，直線與圓相離． 
故可設(shè)所求切線方程為y-2=k（x-3），即kx-y+2-3k=0．
又圓心為O（0，0），半徑r=2，
而圓心到切線的距離d=$\frac{|2-3k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，即|3k-2|=2$\sqrt{{k}^{2}+1}$，
∴k=$\frac{12}{5}$或k=0，故所求切線方程為12x-5y-26=0或y-2=0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線和圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．