Question

16．已知函數(shù)f（x）=ax+lnx
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=ax²，若存在x₀∈（1，+∞），使得g（x₀）＜f（x₀），求a的取值范圍
（3）證明ln1.1＜0.11．

Answer 1

分析 （1）求出導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)即可求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)h（x）=g（x）-f（x），結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分a=0與a≠0兩種情況討論，在a≠0時又分a＜0且x＞1、a≥1、0＜a＜1三種情況討論；
（3）根據(jù)（2）的討論，令a=1，x=1.1即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）=a+$\frac{1}{x}$．
當(dāng)a＞0時，f′（x）＞0，f（x）在定義域上單調(diào)遞增，
當(dāng)a＜0時，由f′（x）=0，解得x=$-\frac{1}{a}$，
當(dāng)x$∈（0，-\frac{1}{a}）$時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈（$-\frac{1}{a}$，+∞）時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
（2）設(shè)h（x）=g（x）-f（x）=ax²-ax-lnx，
當(dāng)a=0時，h（x）=-lnx，對于任意的x∈（1，+∞），
均有h（x）=-lnx＜0，即g（x）＜f（x）在（1，+∞）上恒成立，
當(dāng)a≠0時，h′（x）=2ax-a-$\frac{1}{x}$=$\frac{2a{x}^{2}-ax-1}{x}$，令F（x）=2ax²-ax-1，
當(dāng)a＜0，x＞1時，F(xiàn)（x）＜0，則h′（x）＜0，
所以f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)，對任意的x∈（1，+∞），
均有h（x）＜h（1）=0，即g（x）＜f（x）在（1，+∞）上恒成立．
當(dāng)a＞0時，由2ax²-ax-1=0，解得${x}_{1}=\frac{1+\sqrt{1+\frac{8}{a}}}{4}$或${x}_{2}=\frac{1-\sqrt{1+\frac{8}{a}}}{4}$，
當(dāng)x＞x₁時，F(xiàn)（x）＞0，當(dāng)x₂＜x＜x₁時，F(xiàn)（x）＜0．
  若a≥1，則$\frac{1}{4}＜{x}_{1}≤1$，當(dāng)x＞1≥x₁時，h′（x）＞0，h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
h（x）＞h（1）=0，此時，g（x）＞f（x）恒成立，不符合題意；
  若0＜a＜1，則x₂＜1＜x₁，當(dāng)x∈（1，x₁）時，h′（x）＜0，所以h（x）在（1，x₁）上單調(diào)遞減，
h（x）＜h（1）=0，即存在x₀∈（1，x₁），有g(shù)（x₀）＜f（x₀）成立．
綜上所述，a的取值范圍為（-∞，1）；
（3）根據(jù)（2）的討論，當(dāng)a≥1時，h（x）＞0在（1+∞）上恒成立，
令a=1，x=1.1，得1.1²-1.1-ln1.1＞0，即得ln1.1＜0.11．

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的思想方法，屬難題．