Question

20．已知函數(shù)y=f（x+1）是定義域為R的偶函數(shù)，且f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，則不等式f（2x-1）＞f（x+2）的解集為（$\frac{1}{3}$，3）．

Answer 1

分析 根據(jù)y=f（x+1）是定義域為R的偶函數(shù)，得到y(tǒng)=f（x+1）的對稱軸為y軸，進而確定出f（x）的對稱軸，利用函數(shù)增減性求出所求不等式的解集即可．

解答 解：∵函數(shù)y=f（x+1）是定義域為R的偶函數(shù)，
∴y=f（x+1）關于y軸對稱，
∴y=f（x）向左平移1個單位得到y(tǒng)=f（x+1），
∴y=f（x）關于直線x=1對稱，
∵f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，且f（2x-1）＞f（x+2），
∴f（x）在（-∞，1]上單調(diào)遞增，
∴|2x-1-1|＜|x+2-1|，即（2x-2）²＜（x+1）²，
整理得：3x²-10x+3＜0，即（3x-1）（x-3）＜0，
解得：$\frac{1}{3}$＜x＜3，
則不等式f（2x-1）＞f（x+2）的解集為（$\frac{1}{3}$，3）．
故答案為：（$\frac{1}{3}$，3）

點評 此題考查了奇偶性與單調(diào)性的綜合，熟練掌握函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性是解本題的關鍵．