Question

10．在某次隨機試驗中，事件A發(fā)生的概率是sin²α（0＜α＜$\frac{π}{2}$），在3次這樣的試驗中，A恰好發(fā)生一次的概率的最大值為$\frac{4}{9}$．

Answer 1

分析 根據(jù)n次獨立重復(fù)實驗中恰好發(fā)生k次的概率根式解答．

解答 解：由題意事件A發(fā)生的概率是sin²α（0＜α＜$\frac{π}{2}$），在3次這樣的試驗中，A恰好發(fā)生一次的概率${C}_{3}^{1}（1-si{n}^{2}α）^{2}si{n}^{2}α$=3cos⁴αsin²α，
設(shè)cos²α=x，則3cos⁴αsin²α=3t²（1-t）=-3t³+3t²=f（t），
令f'（t）=-9t²+6t=0，t=0（舍去）t=$\frac{2}{3}$∈（0，1），
所以f（t）的最大值為-3×$（\frac{2}{3}）^{3}+3×（\frac{2}{3}）^{2}$=$\frac{4}{9}$；
故答案為：$\frac{4}{9}$．

點評 本題主要考查n次獨立重復(fù)實驗中恰好發(fā)生k次的概率以及三角函數(shù)的最值求法．