Question

【題目】已知定點(diǎn)，定直線，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離之比等于.

（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）設(shè)軌跡與軸負(fù)半軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作不與軸重合的直線交軌跡于兩點(diǎn)，直線分別交直線于點(diǎn).試問(wèn)：在軸上是否存在定點(diǎn)，使得?若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)在軸上存在定點(diǎn)或，使得.

【解析】試題分析：

(1)設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合題意可得動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程是；

(2)設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線與橢圓的方程，討論可得在軸上存在定點(diǎn)或，使得.

試題解析：

（1）設(shè)點(diǎn)，依題意有，化簡(jiǎn)整理，得，即為動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程.

（2）根據(jù)題意可設(shè)直線的方程為，代入，整理得，設(shè)，則， .又易知，所以直線的方程為： ,直線的方程為： ，從而得， ，所以 .所以當(dāng)，即

或時(shí)， ，故在軸上存在定點(diǎn)或，使得.