Question

2．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2cosθ，2sinθ），向量$\overrightarrow$=（sin（30°-θ），cos（30°-θ）），向量$\overrightarrow{c}$滿足向量$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$與向量$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow$的夾角為60°，則|$\overrightarrow{c}$|的最大值是2．

Answer 1

分析 因?yàn)橄蛄?\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow$|=1，可得兩向量的夾角為60°，在平面內(nèi)作出向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，使|$\overrightarrow{OA}$|=2，|$\overrightarrow{OB}$|=1，且兩向量的夾角為60°，作出向量$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$，由向量減法的幾何意義得向量$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$與$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow$，再由$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$與$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow$的夾角為60°，可得對(duì)應(yīng)的O、A、C、B四點(diǎn)共圓，從而可知|$\overrightarrow{c}$|的最大值為O、A、C、B四點(diǎn)共圓的圓的直徑2R．然后運(yùn)用正弦、余弦定理定理可求三角形ABC的外接圓的半徑2R的值．

解答 解：作$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow$，$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$，
向量$\overrightarrow{a}$=（2cosθ，2sinθ），向量$\overrightarrow$=（sin（30°-θ），cos（30°-θ）），
則|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow$|=1，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=2[cosθsin（30°-θ）+sinθcos（30°-θ）]=2sin30°=1，
cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|}$=$\frac{1}{2}$，可得兩向量的夾角為60°，
又$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow$=$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{BC}$，
由$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$與$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow$的夾角為60°，
得$\overrightarrow{CA}$與$\overrightarrow{BC}$的夾角為60°，則∠BCA=120°，
因?yàn)椤螦OB+∠BCA=60°+120°=180°，
所以O(shè)、A、C、B四點(diǎn)共圓．
所以|$\overrightarrow{c}$|的最大值為O、A、C、B四點(diǎn)共圓的圓的直徑2R．
在三角形OAB中，因?yàn)閨$\overrightarrow{OA}$|=2，|$\overrightarrow{OB}$|=1，∠AOB=60°，
所以|AB|=$\sqrt{4+1-2×2×1×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{3}$，
所以2R=$\frac{|AB|}{sin60°}$=$\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2．
所以|$\overrightarrow{c}$|的最大值為2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的數(shù)量積的定義和夾角公式，同時(shí)考查正弦定理和余弦定理的運(yùn)用，屬于中檔題．