Question

16．用適當方法證明下列不等式：
（Ⅰ）用綜合法證明：若a＞0，b＞0，求證：（a+b）（$\frac{1}{a}+\frac{1}$）≥4；
（Ⅱ）用分析法證明：$\sqrt{6}+\sqrt{7}＞2\sqrt{2}+\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用基本不等式，再相乘，即得所證．
（Ⅱ）尋找使$\sqrt{6}+\sqrt{7}＞2\sqrt{2}+\sqrt{5}$成立的充分條件，直到使不等式成立的條件顯然具備為止．

解答 證明：（Ⅰ）∵$a＞0，b＞0∴a+b≥2\sqrt{ab}$，…（2分）
∴$\frac{1}{a}+\frac{1}≥2\sqrt{\frac{1}{ab}}$，…（4分）
∴（a+b）（$\frac{1}{a}+\frac{1}$）≥4．…（6分）
（Ⅱ）要證$\sqrt{6}+\sqrt{7}＞2\sqrt{2}+\sqrt{5}$．成立
只需證${（{\sqrt{6}+\sqrt{7}}）^2}＞{（{2\sqrt{2}+\sqrt{5}}）^2}$，…（8分）
即證$13+2\sqrt{42}＞13+4\sqrt{10}$，
只需證$\sqrt{42}＞2\sqrt{10}$，
即證42＞40顯然為真，
故原式成立．…（12分）

點評 本題主要考查用綜合法和分析法證明不等式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，屬于中檔題．