Question

2．如圖，四棱錐P-ABCD的底面為矩形，AB=$\sqrt{2}$，BC=1，E，F(xiàn)分別是AB，PC的中點，DE⊥PA，求證：平面PAC⊥平面PDE．

Answer 1

分析 根據(jù)面面垂直的判定定理，只要證明DE⊥平面PAC，再證明平面PAC⊥平面PDE．

解答 證明：設(shè)AC∩DE=G，由△AEG∽△CDG及E為AB中點得$\frac{AG}{CG}=\frac{AE}{CD}=\frac{1}{2}$，
又因為AB=$\sqrt{2}$，BC=1，所以AC=$\sqrt{3}$，AG=$\frac{1}{3}$AC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
所以$\frac{AG}{AE}=\frac{AB}{AC}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，
又∠BAC為公共角，所以△GAE∽△BAC．
所以∠AGE=∠ABC=90°，即DE⊥AC．                  
又DE⊥PA，PA∩AC=A，
所以DE⊥平面PAC．                                
又DE?平面PDE，
所以平面PAC⊥面PDE．

點評 本題以四棱錐為例，考查了空間的平面與平面垂直的判定，屬于中檔題．