Question

3．已知線段AB的長為2，動點C滿足$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=λ（λ為負常數(shù)），且點C總不在以點B為圓心，$\frac{1}{2}$為半徑的圓內，則實數(shù)λ的最大值是-$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 由題意建立坐標系，假設點C在圓內，B（0，0），A（2，0），C（rcosa，rsina），（r＜$\frac{1}{2}$），從而利用坐標表示出向量，從而可得λ=-2rcosa+r²，從而求得．

解答 解：由題意建立坐標系如右圖，
假設點C在圓內，
則B（0，0），A（2，0），C（rcosa，rsina），（r＜$\frac{1}{2}$），
則$\overrightarrow{CA}$=（2-rcosa，-rsina），$\overrightarrow{CB}$=（-rcosa，-rsina），
∴λ=（2-rcosa，-rsina）•（-rcosa，-rsina）
=-2rcosa+r²（cos²a+sin²a）
=-2rcosa+r²，
∴r²-2r≤λ≤r²+2r，
故-$\frac{3}{4}$＜λ＜$\frac{5}{4}$，
∵點C總不在以點B為圓心，$\frac{1}{2}$為半徑的圓內，
∴λ≤-$\frac{3}{4}$或λ≥$\frac{5}{4}$（舍）；
故實數(shù)λ的最大值是-$\frac{3}{4}$，
故答案為：-$\frac{3}{4}$．

點評 本題考查了平面向量的坐標表示的應用及數(shù)量積的求法，同時考查了數(shù)形結合的思想與轉化思想的應用．