Question

10．已知a+b+c＞0，ab+bc+ca＞0，abc＞0，用反證法證明：a，b，c＞0．

Answer 1

分析 假設(shè)a，b，c不全是正數(shù)，這時(shí)需要逐個(gè)討論a，b，c不是正數(shù)的情形．但注意到條件的特點(diǎn)（任意交換a，b，c的位置不改變命題的條件），我們只要討論其中一個(gè)數(shù)（例如a），其他兩個(gè)數(shù)（例如b，c）與這種情形類似．

解答 證明：設(shè)a＜0，∵abc＞0，∴bc＜0．
又由a+b+c＞0，則b+c＞-a＞0
∴ab+bc+ca=a（b+c）+bc＜0     
與題設(shè)矛盾
又：若a=0，則與abc＞0矛盾，
∴必有a＞0，
同理可證：b＞0，c＞0．

點(diǎn)評(píng) 本題是一個(gè)全部性問題，要證的結(jié)論與條件之間的聯(lián)系不明顯，直接由條件推出結(jié)論的線索不夠清晰．于是考慮采用反證法．