Question

1．已知函數(shù)$f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0，0＜φ＜\frac{π}{2}）$的部分圖象如圖所示．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間$[-\frac{π}{4}，\frac{π}{3}]$上的值域；
（Ⅲ）求函數(shù)g（x）=f（x-$\frac{π}{12}$）-f（x+$\frac{π}{12}$）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)圖象確定函數(shù)的周期，求解A，ω和φ的值即可求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性即可求函數(shù)f（x）在區(qū)間$[-\frac{π}{4}，\frac{π}{3}]$上的值域；
（Ⅲ）先化簡g（x），然后利用三角函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）由題設(shè)圖象知，周期T=2（$\frac{11π}{12}$-$\frac{5π}{12}$）=π，
則ω=$\frac{2π}{T}$=2．
因?yàn)辄c(diǎn)（$\frac{5π}{12}$，0）在函數(shù)圖象上，所以Asin（2×$\frac{5π}{12}$+φ）=0，
即sin（$\frac{5π}{6}$+φ）=0，
又∵0＜φ＜$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{5π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$+φ＜$\frac{4π}{3}$，
即$\frac{5π}{6}$+φ=π，解得φ=$\frac{π}{6}$．
即f（x）=Asin（2x+$\frac{π}{6}$），
又點(diǎn)（0，1）在函數(shù)圖象上，
∴Asin$\frac{π}{6}$=1，解得A=2，
故函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（Ⅱ）∵$-\frac{π}{4}≤x≤\frac{π}{3}⇒-\frac{π}{3}≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{5π}{6}⇒-\frac{{\sqrt{3}}}{2}≤sin（2x+\frac{π}{6}）≤1$．
∴f（x）的值域?yàn)?[-\sqrt{3}，2]$．
（Ⅲ）g（x）=f（x-$\frac{π}{12}$）-f（x+$\frac{π}{12}$）=2sin[2（x-$\frac{π}{12}$）+$\frac{π}{6}$]-2sin[2（x+$\frac{π}{12}$）+$\frac{π}{6}$]=2sin2x-2sin（2x+$\frac{π}{3}$）
=2sin2x-2×（$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x）
=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x=2sin（2x-$\frac{π}{3}$），
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
得kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$，k∈Z，
∴g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]，k∈Z．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)解析式的求解，以及三角函數(shù)的化簡，三角函數(shù)的單調(diào)性和值域的求解，綜合考查三角函數(shù)的性質(zhì)．