Question

2．已知拋物線y²=4x上一點P在y軸上的射影為N，動點M在直線y=x+2上，則PM+PN的最小值為$\frac{3\sqrt{2}-2}{2}$．

Answer 1

分析 通過作拋物線的準線x=-1，過點P作x軸平行線交y軸、準線分別為N、Q點，通過拋物線定義可知PM+PN的最小值即為PF+PM-1的最小值即為拋物線焦點到直線y=x+2的距離減1，利用點到直線的距離計算即得結論．

解答 解：依題意，作拋物線的準線x=-1，過點P作x軸平行線交y軸、準線分別為N、Q點，
記拋物線焦點F（1，0），連結PF、PM，
則點F到直線y=x+2的距離d=$\frac{|1-0+2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
由拋物線定義可知PF=PN+QN=PN+1，
于是PM+PN的最小值即為PF+PM-1的最小值，
通過圖象可知PF+PM的最小值為d，
∴PM+PN的最小值為$\frac{3\sqrt{2}}{2}$-1=$\frac{3\sqrt{2}-2}{2}$，
故答案為：$\frac{3\sqrt{2}-2}{2}$．

點評 本題考查直線與圓錐曲線的關系，考查數(shù)形結合能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．