Question

已知直線l過(guò)點(diǎn)C（4，1），
（1）若直線l在兩坐標(biāo)軸上截距相等，求直線l的方程．
（2）若直線l分別與x軸、y軸的正半軸相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，記|OA|=a，|OB|=b，求a+b的最小值，并寫出此時(shí)直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線的截距式方程

專題：直線與圓

分析：（1）直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，就是說(shuō)過(guò)原點(diǎn)和不過(guò)原點(diǎn)兩種，不過(guò)原點(diǎn)的斜率為

1

4

；
（2）根據(jù)過(guò)點(diǎn)C得出

4

a

+

1

a

=1，然后利用均值不等式得出a=2b，進(jìn)而得出a和b的值．

解答： 解：（1）若直線l過(guò)原點(diǎn)，設(shè)其方程為：y=kx，
又直線l過(guò)點(diǎn)C（4，1），則4k=1
∴k=

1

4

∴y=

1

4

x即x-4y=0
若直線l不過(guò)原點(diǎn)，設(shè)其方程為：

x

a

+

y

a

=1，
∵直線l過(guò)點(diǎn)C（4，1），
∴

4

a

+

1

a

=1
解得：a=5
直線l的方程為x+y-5=0；
綜上，l的方程為x-4y=0或x+y-5=0
（2）設(shè)l的方程為：

x

a

+

y

b

=1，
∵直線l過(guò)點(diǎn)C（4，1），
∴

4

a

+

1

b

=1（1）
∴a+b=（a+b）（

4

a

+

1

b

）=5+

4b

a

+

a

b

≥5+2

4b a • a b

=9當(dāng)且僅當(dāng)

4b

a

=

a

b

即a=2b時(shí)取等號(hào)，將a=2b與（1）式聯(lián)立得a=6，b=3，l的方程為x+2y-6=0
綜上，a+b的最小值為9，l的方程為x+2y-6=0

點(diǎn)評(píng)：本題學(xué)生解題時(shí)容易漏掉直線過(guò)原點(diǎn)的情況，這是需要牢記．