Question

已知cosx=-,求給定條件下的角x.

(1)x∈［0,π］;

(2)x∈［-2π,4π］;

(3)x∈R.

Answer 1

思路分析：記住arccosx∈［0,π］,利用誘導(dǎo)公式或利用終邊相同的三角函數(shù)相等可求解.

解：（1）由余弦函數(shù)在閉區(qū)間［0，π］上是減函數(shù)和cosx=-知：符合條件的角有且只有一個，這個角為鈍角.

    設(shè)cosθ=，θ∈(0,)，由反余弦定義可知：

θ=arccos.

∵＜π-θ＜π,

    且cos(π-θ)=-cosθ=-=cosx.

∴x=π-θ=π-arccos.

(2)∵x∈［-2π,4π］,由余弦函數(shù)的圖象及周期性可知：在長度為6π的區(qū)間上，滿足cosx=-的角x有6個.

    設(shè)cosθ=-,θ∈(0, ),由定義知：θ=arccos；

    由cosx=-＜0知角x的終邊在第二或第三象限，由誘導(dǎo)公式可知在［0，2π］內(nèi)：符合cosx=-的角x=π-θ和π+θ.

    即x₁=π-arccos,x₂=π+arccos;從而在［2π，4π］內(nèi)符合條件的角x₃=x₁+2π=3π-arccos,x₄=x₂+2π=3π+arccos;在［-2π，0］內(nèi)符合條件的角x₅=x₁-2π=-π-arccos,x₆=x₂-2π=-π+arccos,即在［-2π,4π］內(nèi)，滿足cosx=-的角x的集合為{π±arccos,3π±arccos,-π±arccos}.

(3)∵x是任意角，∴滿足cosx=-的角x有無窮多個，它的終邊在第二或第三象限，由定義知：在［0，2π］內(nèi)符合條件的角x₁=π-arccos和x₂=π+arccos,由終邊相同的角的集合的表達式可知：符合cosx=-的所有的角x的集合為{x|x=2kπ+π±arccos,k∈Z}.