Question

11．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，E，F(xiàn)分別為PA，BD的中點(diǎn)，PA=PD=AD=2，$AB=2\sqrt{2}$，∠DAB=45°．
（Ⅰ）求證：EF∥平面PBC；
（Ⅱ）求證：平面DEF⊥平面PAD．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由中位線定理和線面平行的判定定理，即可得證；
（Ⅱ）運(yùn)用余弦定理，可得BD=2，BD⊥AD，運(yùn)用面面垂直的性質(zhì)定理和判定定理，即可得證．

解答 證明：（Ⅰ）連結(jié)AC，因?yàn)榈酌鍭BCD是平行四邊形，
所以F是AC中點(diǎn)．
在△PAC中，又E是PA中點(diǎn)，所以EF∥PC．
又因?yàn)镋F?平面PBC，PC?平面PBC，
所以EF∥平面PBC；       
（Ⅱ）在△ABD中，因?yàn)?AD=2，AB=2\sqrt{2}$，∠DAB=45°，
由余弦定理得：BD=$\sqrt{{2}^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}-2×2×2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}}$=2，
所以BD⊥AD．   
因?yàn)槊鍼AD⊥底面ABCD，且面PAD∩面ABCD=AD，
又BD?平面ABCD，
所以BD⊥面PAD．
因?yàn)锽D?面DEF，
所以平面DEF⊥平面PAD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行和面面垂直的判定定理的運(yùn)用，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題．