Question

【題目】已知函數(shù)，其中，設(shè)為導(dǎo)函數(shù).

（Ⅰ）設(shè)，若恒成立，求的范圍；

（Ⅱ）設(shè)函數(shù)的零點(diǎn)為，函數(shù)的極小值點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，求證：.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（I）計(jì)算的導(dǎo)函數(shù)，計(jì)算最小值，結(jié)合恒不等式，建立不等關(guān)系，計(jì)算a的范圍，即可。（II）構(gòu)造函數(shù)，判定極小值點(diǎn)，進(jìn)而得到的單調(diào)性，得到

，結(jié)合單調(diào)性，即可。

（Ⅰ）由題設(shè)知，，

，.

當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

故在處取到最小值，且.

由于恒成立，所以.

（Ⅱ）設(shè)，則.

設(shè)，則，

故在上單調(diào)遞增.

因?yàn)?/span>，所以，,

故存在，使得，

則在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

故是的極小值點(diǎn)，因此.

由（Ⅰ）可知，當(dāng)時(shí)，.

因此 ，即單調(diào)遞增.

由于，即，即，

所以 .

又由（Ⅰ）可知，在單調(diào)遞增，因此.