Question

12．某人上一段有9級(jí)的樓梯，如果一步可以上一級(jí)，也可以上二級(jí)或三級(jí)，則他共有多少種不同的上樓方法？
（提示：設(shè)按照一步可以上一級(jí)，也可以上二級(jí)或三級(jí)的方法走到第n級(jí)階梯時(shí)的不同上樓方法有a_n種．先寫出數(shù)列{a_n}的遞推關(guān)系式，再計(jì)算a₉．）

Answer 1

分析 按照一步可以上一級(jí)，也可以上二級(jí)或三級(jí)的方法求出上1級(jí)、2級(jí)、3級(jí)、4級(jí)樓梯的方法種數(shù)，歸納可得a_n+3=a_n+2+a_n+1+a_n，由此可得上9級(jí)樓梯的所有方法種數(shù)．

解答 解：若只上1級(jí)樓梯，上法a₁=1（種）；
若上2級(jí)樓梯，上法a₂=2（種）（一步一級(jí)或一步兩級(jí)）；
若上3級(jí)樓梯，上法a₃=4（種）（一步一級(jí)或第一步一級(jí)第二步兩級(jí)或第一步兩級(jí)第二步一級(jí)或一步三級(jí)）；
若上4級(jí)樓梯，上法a₄=7（種）（分第一步上一級(jí)，第一步上兩級(jí)、第一步上三級(jí)三類辦法求解），則有a₄=a₃+a₂+a₁=4+2+1=7（種）；
同理a₅=a₄+a₂+a₃=13（種）；
a₆=a₅+a₄+a₃=24（種）；
a₇=a₆+a₅+a₄=44（種）；
a₈=a₇+a₆+a₅=81（種）；
a₉=a₈+a₇+a₆=149（種）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查加法原理和乘法原理，考查了數(shù)列遞推式的確定，屬中檔題．