Question

7．已知向量$\overrightarrow{m}$=（2cosx，1），$\overrightarrow{n}$=（sinx，2cos²x），令f（x）=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）將函數(shù)y=f（x）圖象向右平移$\frac{π}{4}$個(gè)單位后，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，若g（α）=$\frac{\sqrt{2}}{3}$+1，α為第一象限，求sin2α的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)兩向量的坐標(biāo)，求得函數(shù)的解析式，進(jìn)而利用二倍角公式和兩角和公式化簡(jiǎn)整理求得函數(shù)的解析式，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（2）利用平移規(guī)律：“左加右減”，確定出f（x）平移后的解析式g（x），根據(jù)g（α）的值列出關(guān)系式，整理后得出sin（2α-$\frac{π}{4}$）的值，由α為第一象限角，得出2α-$\frac{π}{4}$的范圍，再根據(jù)sin（2α-$\frac{π}{4}$）的范圍，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cos（2α-$\frac{π}{4}$）的值，將所求式子中的角2α變形為（2α-$\frac{π}{4}$）+$\frac{π}{4}$，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)后，將各自的值代入即可求出值．

解答 解：（1）f（x）=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=2sinxcosx+2cos²x
=sin2x+cos2x+1
=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+1
當(dāng)2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，即kπ-$\frac{3π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{π}{8}$（k∈Z）
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{π}{8}$]（k∈Z）．
（2）∵將函數(shù)y=f（x）圖象向右平移$\frac{π}{4}$個(gè)單位后，得到函數(shù)y=g（x）=$\sqrt{2}$sin[2（x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{π}{4}$]+1=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）+1，
∴$\sqrt{2}$sin（2α-$\frac{π}{4}$）+1=$\frac{\sqrt{2}}{3}$+1，解得：sin（2α-$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{3}$，
∵α為第一象限，
∴2α-$\frac{π}{4}$∈（4kπ-$\frac{π}{4}$，4kπ+$\frac{3π}{4}$），k∈Z，
又0＜sin（2α-$\frac{π}{4}$）＜$\frac{1}{3}$＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$知，
∴2α-$\frac{π}{4}$∈（4kπ，4kπ+$\frac{π}{2}$），k∈Z，
∴cos（2α-$\frac{π}{4}$）=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴sin2α=sin[（2α-$\frac{π}{4}$）+$\frac{π}{4}$]=sin（2α-$\frac{π}{4}$）cos$\frac{π}{4}$+cos（2α-$\frac{π}{4}$）sin$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}（\frac{1}{3}+\frac{2\sqrt{2}}{3}）$=$\frac{\sqrt{2}+4}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式、二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的定義域與值域，三角函數(shù)圖象的變換，以及正弦函數(shù)的單調(diào)性，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．