Question

15．已知平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)A（1，0），B（4，0）的距離之比為$\frac{1}{2}$，設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線C．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)B作斜率為0的直線l與曲線C相交于P，Q兩點(diǎn)；
（�。┤鬙P⊥OQ，求直線l的方程；
（ⅱ）求三角形APQ面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用直接法求曲線C的方程；
（Ⅱ）（ⅰ）設(shè)直線方程，若OP⊥OQ，則△POQ為等腰直角三角形，O到直線l的距離為$\sqrt{2}$，求出k，即可求直線l的方程；
（ⅱ）表示出三角形APQ面積，換元，利用配方法求出最大值．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)M（x，y），則
∵動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)A（1，0），B（4，0）的距離之比為$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}}{\sqrt{（x-4）^{2}+{y}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，
化簡可得x²+y²=4，
即曲線C的方程為x²+y²=4；
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=k（x-4）（k≠0），即kx-y-4k=0，
∵直線l與圓C相交，∴O到直線l的距離d=$\frac{4|k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$＜2，∴0＜k²＜$\frac{1}{3}$．
（�。┤鬙P⊥OQ，則△POQ為等腰直角三角形，
∵|OP|=|OQ|=2，
∴O到直線l的距離為$\sqrt{2}$，
∴d=$\frac{4|k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{2}$，
∴k=±$\frac{\sqrt{7}}{7}$，
∴直線l的方程為y=±$\frac{\sqrt{7}}{7}$（x-4）；
（ⅱ）|PQ|=2$\sqrt{4-zlzxfzb^{2}}$=4$\sqrt{\frac{1-3{k}^{2}}{1+{k}^{2}}}$，
A到直線l的距離為$\frac{3|k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$
∴三角形APQ面積S=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{\frac{1-3{k}^{2}}{1+{k}^{2}}}$×$\frac{3|k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
設(shè)t=1+k²（1＜t＜$\frac{4}{3}$），S=6$\sqrt{\frac{（t-1）（4-3t）}{{t}^{2}}}$-6$\sqrt{-4（\frac{1}{t}-\frac{7}{8}）^{2}+\frac{1}{16}}$，
∵$\frac{3}{4}$＜$\frac{1}{t}$＜1，
∴$\frac{1}{t}$=$\frac{7}{8}$，即k=±$\frac{\sqrt{7}}{7}$時(shí)，三角形APQ面積的最大值為$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程，考查三角形面積的計(jì)算，考查點(diǎn)到直線距離公式的運(yùn)用，屬于中檔題．