Question

11．已知橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$的左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線交橢圓于B，C兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求該橢圓的離心率；
（Ⅱ）設(shè)直線AB和AC分別與直線x=4交于點(diǎn)M，N，問(wèn)：x軸上是否存在定點(diǎn)P使得MP⊥NP？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意方程求出a，b的值，結(jié)合隱含條件求得c，則橢圓離心率可求；
（Ⅱ）設(shè)出BC所在直線方程x=ty+1，與橢圓方程聯(lián)立，把AB，AC的方程用含有A，B的坐標(biāo)表示，再由MP⊥NP，利用數(shù)量積為0求解．

解答 解：（Ⅰ）由橢圓方程可得，a=2，b=$\sqrt{3}$，
從而橢圓的半焦距$c=\sqrt{{a}^{2}-^{2}}=1$．
∴橢圓的離心率為$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）解：依題意，直線BC的斜率不為0，設(shè)其方程為x=ty+1．
將其代入$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，整理得（4+3t²）y²+6ty-9=0．
設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
∴${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{-6t}{4+3{t}^{2}}$，${y}_{1}{y}_{2}=\frac{-9}{4+3{t}^{2}}$．
直線AB的方程是$y=\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}（x+2）$，從而可得M（4，$\frac{6{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$），
同理可得$N（4，\frac{6{y}_{2}}{{x}_{2}+2}）$．
假設(shè)x軸上存在定點(diǎn)P（p，0）使得MP⊥NP，則有$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}=0$．
∴$（p-4）^{2}+\frac{36{y}_{1}{y}_{2}}{（{x}_{1}+2）（{x}_{2}+2）}=0$．
將x₁=ty₁+1，x₂=ty₂+1代入上式，整理得$（p-4）^{2}+\frac{36{y}_{1}{y}_{2}}{{t}^{2}{y}_{1}{y}_{2}+3t（{y}_{1}+{y}_{2}）+9}=0$．
∴$（p-4）^{2}+\frac{36（-9）}{{t}^{2}（-9）+3t（-6t）+9（4+3{t}^{2}）}=0$，即（p-4）²-9=0，
解得p=1，或p=7．
∴x軸上存在定點(diǎn)P（1，0）或P（7，0），使得MP⊥NP成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查直線和圓錐曲線位置關(guān)系的應(yīng)用，訓(xùn)練了平面向量數(shù)量積在求解圓錐曲線問(wèn)題中的應(yīng)用，是中檔題．