Question

8．求$\sqrt{{x}^{2}-2x+2}$-$\sqrt{{x}^{2}-4x+13}$的取值范圍．

Answer 1

分析 化$\sqrt{{x}^{2}-2x+2}$-$\sqrt{{x}^{2}-4x+13}$=$\sqrt{（x-1）^{2}+1}-\sqrt{（x-2）^{2}+3}$，由其幾何意義作出圖形，數(shù)形結(jié)合得答案．

解答 解：$\sqrt{{x}^{2}-2x+2}$-$\sqrt{{x}^{2}-4x+13}$=$\sqrt{（x-1）^{2}+1}-\sqrt{（x-2）^{2}+3}$．
其幾何意義為動(dòng)點(diǎn)P（x，0）到定點(diǎn)A（1，1）的距離與動(dòng)點(diǎn)（x，0）到定點(diǎn)B（2，3）的距離差．
如圖，

當(dāng)P（x，0）為線段BA的延長(zhǎng)線與x軸交點(diǎn)時(shí)，有最小值為-$\sqrt{（2-1）^{2}+（3-1）^{2}}=-\sqrt{5}$，
當(dāng)x→+∞時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P（x，0）到定點(diǎn)A（1，1）的距離與動(dòng)點(diǎn)（x，0）到定點(diǎn)B（2，3）的距離差趨于$\sqrt{5}$．
∴$\sqrt{{x}^{2}-2x+2}$-$\sqrt{{x}^{2}-4x+13}$的取值范圍是[-$\sqrt{5}，\sqrt{5}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的最值及其幾何意義，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，屬中高檔題．