Question

12．如圖，正三棱錐A-BCD中，E、F分別為BD、AD的中點，且EF⊥CF，底面邊長為2，則點B到平面ACD的距離為（　�。�

• A． 1
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 設(shè)點A在面BCD內(nèi)的射影為A′，由三棱錐A-BCD為正三棱錐，易得A′為△BCD中心，由線面垂直的判定定理可得AB⊥面ACD，即∠ADB為直線BD與平面ACD所成角，解三角形ADB可得直線BD與平面ACD所成的角，即可求出點B到平面ACD的距離．

解答 解：設(shè)點A在面BCD內(nèi)的射影為A′，
∵三棱錐A-BCD為正三棱錐，
∴AB=AD，
△BCD為正三角形，A′為△BCD中心，
∴CD⊥BA′，
∵AA′⊥面BCD，
∴CD⊥AB，
∵E、F分別為BD、AD的中點，∴EF∥AB，
∵EF⊥CF，∴AB⊥CF，
又∵AB⊥CD，CD∩CF=C，
∴AB⊥面ACD，
∴AB⊥AD．
∴∠ADB即為直線BD與平面ACD所成角，
又∵AB=AD，AB⊥AD，
∴∠ADB=45°，
∴直線BD與平面ACD所成角為45°，
∵BD=2，
∴點B到平面ACD的距離為2sin45°=$\sqrt{2}$．
故選：D．

點評 本題考查點B到平面ACD的距離，考查直線與平面所成的角，其中求出∠ADB為直線BD與平面ACD所成角是解答的關(guān)鍵．