Question

7．如果數(shù)列{a_n}滿足a₂=$\frac{1}{2014}$，且對(duì)任意不相等的正整數(shù)n，m，都有$\frac{{a}_{n}{a}_{m}}{{a}_{m}+{a}_{n}}$=$\frac{1}{n+m}$，則a₂₀₁₄=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 通過(guò)對(duì)$\frac{{a}_{n}{a}_{m}}{{a}_{m}+{a}_{n}}$=$\frac{1}{n+m}$變形，整理可得$\frac{1}{{a}_{n}}$=n+（m-$\frac{1}{{a}_{m}}$），利用a₂=$\frac{1}{2014}$代入計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：∵$\frac{{a}_{n}{a}_{m}}{{a}_{m}+{a}_{n}}$=$\frac{1}{n+m}$，
∴$\frac{{a}_{m}+{a}_{n}}{{a}_{m}{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{{a}_{m}}$=n+m，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=n+（m-$\frac{1}{{a}_{m}}$），
又∵a₂=$\frac{1}{2014}$，
∴2-$\frac{1}{{a}_{2}}$=2-2014=-2012，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=n+（2-$\frac{1}{{a}_{2}}$）=n-2012，
∴a_n=$\frac{1}{n-2012}$，
∴a₂₀₁₄=$\frac{1}{2014-2012}$=$\frac{1}{2}$，
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查求數(shù)列的通項(xiàng)，對(duì)表達(dá)式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．