Question

已知向量

m

=（sinx+cosx，2cosx），

n

=（sinx+cosx，cosx），記f（x）=

m

•

n

．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若方程f（x）-1=0在區(qū)間（0，π）內(nèi)有兩個零點x₁，x₂，求x₁+x₂的值．

Answer 1

考點：正弦函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系,兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）首先根據(jù)向量的坐標(biāo)運算求出f（x）=（sinx+cosx）²+2cos²x再通過恒等變換求出f（x）=

2

sin(2x+

π

4

)+2，進(jìn)一步利用整體思想求出單調(diào)區(qū)間．
（Ⅱ）利用上一步的結(jié)論求出零點，最后進(jìn)一步求出結(jié)果．

解答： 解：（Ⅰ）已知向量

m

=（sinx+cosx，2cosx），

n

=（sinx+cosx，cosx），
所以：f（x）=

m

•

n

=（sinx+cosx）²+2cos²x=

2

sin(2x+

π

4

)+2，
令：-

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

π

2

+2kπ（k∈Z），
解得：-

3π

8

+kπ≤x≤

π

8

+kπ，
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[-

3π

8

+kπ，

π

8

+kπ]（k∈Z）；
（Ⅱ）方程f（x）-1=0在區(qū)間（0，π）內(nèi)有兩個零點x₁，x₂
所以：

2

sin(2x+

π

4

)+1=0，
即：sin(2x+

π

4

)=-

2

2

，
因為：x∈（0，π），
所以：2x1+

π

4

=

5π

4

或2x2+

π

4

=

7π

4

，
解得：x1=

π

2

或x2=

3π

4

，
x1+x2=

5π

4

．

點評：本題考查的知識要點：向量的坐標(biāo)運算，三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦型函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，函數(shù)零點的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題型．