Question

8．?dāng)?shù)列{a_n}滿足：a₁=2，a_n+1=a₁+a₂+…+a_n+6，（n∈N^*）．
（1）判斷{a_n}是不是等比數(shù)列，并說明理由；
（2）令b_n=log₂ a_n，若x＜$\frac{1}{_{1}_{2}}$+$\frac{1}{_{2}_{3}}$+…+$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$＜y對一切n∈N^*成立，求x和y的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用作差法求出數(shù)列的通項公式，結(jié)合等比數(shù)列的定義即可判斷{a_n}是不是等比數(shù)列；
（2）令b_n=log₂ a_n，求出數(shù)列{b_n}的通項公式，利用裂項法化簡$\frac{1}{_{1}_{2}}$+$\frac{1}{_{2}_{3}}$+…+$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$，即可求x和y的取值范圍．

解答 解：（1）∵a₁=2，a_n+1=a₁+a₂+…+a_n+6，（n∈N^*）．
∴當(dāng)n≥2時，a_n=a₁+a₂+…+a_n-1+6，（n∈N^*）．
兩式相減得a_n+1-a_n=a_n，
即a_n+1=2a_n，
當(dāng)n=1時，a₂=a₁+6=2+6=8，不滿足a_n+1=2a_n，
則a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2，}&{n=1}\\{8•{2}^{n-2}={2}^{n+1}，}&{n≥2}\end{array}\right.$，
故數(shù)列{a_n}不是等比數(shù)列；
（2）∵b_n=log₂a_n，
∴b₁=log₂a₁═log₂2=1，
當(dāng)n≥2時，b_n=log₂a_n=log₂2ⁿ⁺¹=n+1，
b₂=3，
當(dāng)n≥2時，$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$
則$\frac{1}{_{1}_{2}}$+$\frac{1}{_{2}_{3}}$+…+$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{1×3}$+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+（$\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$）+…+（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）=$\frac{1}{3}+\frac{1}{3}$-$\frac{1}{n+2}$=$\frac{2}{3}$-$\frac{1}{n+2}$＜$\frac{2}{3}$，
∵$\frac{2}{3}$-$\frac{1}{n+2}$在n≥1時為增函數(shù)，
∴$\frac{2}{3}$-$\frac{1}{n+2}$≥$\frac{2}{3}$-$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{3}$，
即$\frac{1}{3}$≤$\frac{2}{3}$-$\frac{1}{n+2}$＜$\frac{2}{3}$，
若若x＜$\frac{1}{_{1}_{2}}$+$\frac{1}{_{2}_{3}}$+…+$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$＜y對一切n∈N^*成立，
則x＜$\frac{1}{3}$，y≥$\frac{2}{3}$．

點評 本題主要考查數(shù)列遞推公式的應(yīng)用，以及等比數(shù)列的判斷，數(shù)列求和的應(yīng)用，求出數(shù)列的通項公式，利用裂項法是解決本題的關(guān)鍵．