Question

9．設f（x）=$\frac{{4}^{x}}{{4}^{x}+2}$，則f（$\frac{1}{2008}$）+f（$\frac{2}{2008}$）+…+f（$\frac{2007}{2008}$）=$\frac{2007}{2}$．

Answer 1

分析 當自變量的和為1時，函數(shù)值的和為常數(shù)1．故只需兩兩組合即可計算出結果．

解答 解：設a+b=1，則f（a）+f（b）=$\frac{{4}^{a}}{{4}^{a}+2}$+$\frac{{4}^}{{4}^+2}$=$\frac{{4}^{a}（{4}^+2）+{4}^（{4}^{a}+2）}{（{4}^{a}+2）（{4}^+2）}$=$\frac{4+2×{4}^{a}+4+2×{4}^}{4+2×{4}^{a}+2×{4}^+4}$=1．
∴f（$\frac{1}{2008}$）+f（$\frac{2}{2008}$）+…+f（$\frac{2007}{2008}$）=[f（$\frac{1}{2008}$）+f（$\frac{2007}{2008}$）]+[f（$\frac{2}{2008}$）+f（$\frac{2006}{2008}$）]+…+[f（$\frac{1003}{2008}$）+f（$\frac{1005}{2008}$）]+f（$\frac{1004}{2008}$）
=1×1003+f（$\frac{1}{2}$）=1003+$\frac{1}{2}$=$\frac{2007}{2}$．
故答案為：$\frac{2007}{2}$．

點評 本題考查了指數(shù)冪運算，函數(shù)的性質及應用，尋找函數(shù)的特點是解題關鍵．