Question

20．已知點(diǎn)M（1，2），N（4，3），動(dòng)點(diǎn)P滿足$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{OM}$+μ$\overrightarrow{ON}$，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且λμ≥0，|λ+μ|≤1，則點(diǎn)P所在平面區(qū)域的面積為5．

Answer 1

分析 當(dāng)λ，μ均大于0時(shí)，P點(diǎn)所在區(qū)域?yàn)椤鱋MN內(nèi)部，當(dāng)λ，μ均小于0時(shí)，P點(diǎn)所在區(qū)域?yàn)椤鱋MN關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的三角形．

解答 解：當(dāng)λ＞0，μ＞0，0≤λ+μ≤1時(shí)，點(diǎn)P所在區(qū)域?yàn)椤鱋MN內(nèi)部（含邊界），
當(dāng)λ＜0，μ＜0，-1≤λ+μ≤0時(shí)，點(diǎn)P所在區(qū)域?yàn)椤鱋MN內(nèi)部（含邊界）關(guān)于原點(diǎn)得對(duì)稱區(qū)域．
|$\overrightarrow{OM}$|=$\sqrt{5}$，|$\overrightarrow{ON}$|=5，$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=10，
∴cos＜$\overrightarrow{OM}$，$\overrightarrow{ON}$＞=$\frac{10}{5\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴sin＜$\overrightarrow{OM}$，$\overrightarrow{ON}$＞=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
∴S_△OMN=$\frac{1}{2}×$5×$\sqrt{5}$×$\frac{\sqrt{5}}{5}$=$\frac{5}{2}$．
∴點(diǎn)P所在的區(qū)域面積S=2S_△OMN=5．
故答案為：5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的基本定理及其意義，屬于基礎(chǔ)題．