Question

16．已知函數(shù)f（x）=alnx+x²-1
（1）求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）若關于x的不等式f（x）≥b（x-1）在[$\frac{1}{e}$，+∞）上恒成立，其中a，b為實數(shù)，求a，b所滿足的關系式及a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出原函數(shù)的導函數(shù)，得f′（1），進一步求得f（1）=0，然后由直線方程的點斜式得答案；
（2）構造函數(shù)g（x）=f（x）-b（x-1），把不等式f（x）≥b（x-1）在[$\frac{1}{e}$，+∞）上恒成立轉化為g（x）≥0在[$\frac{1}{e}$，+∞）上恒成立，根據(jù)g（1）=0，可得g（x）≥g（1）恒成立，得到g（x）在x=1處取得極小值，從而有g′（1）=a+2-b=0，得到a，b的關系，得到g′（x）=$\frac{2（x-1）（x-\frac{a}{2}）}{x}$．然后對a分類討論，進一步轉化為關于a的不等式求得a的取值范圍．

解答 解：（1）求導f′（x）=$\frac{a}{x}+2x$，∴f′（1）=a+2，
又f（1）=0，∴曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=（a+2）（x-1），
即（a+2）x-y-a-2=0；
（2）設g（x）=f（x）-b（x-1），即g（x）≥0在[$\frac{1}{e}$，+∞）上恒成立，
又g（1）=0，有g（x）≥g（1）恒成立，即g（x）在x=1處取得極小值，得g′（1）=a+2-b=0，
∴b=a+2，從而g′（x）=$\frac{2（x-1）（x-\frac{a}{2}）}{x}$．
（ⅰ）當$\frac{a}{2}≤\frac{1}{e}$時，g（x）在$（\frac{1}{e}，1）$上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增，∴g（x）≥g（1），即$a≤\frac{2}{e}$；
（ⅱ）當$\frac{1}{e}＜\frac{a}{2}≤1$時，g（x）在$（\frac{1}{e}，\frac{a}{2}）$上單調遞增，在$（\frac{a}{2}，1）$單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增，則只需$g（\frac{1}{e}）=-\frac{a}{e}+\frac{1}{{e}^{2}}-\frac{2}{e}+1≥0$，
解得：$\frac{2}{e}＜a≤e+\frac{1}{e}-2$；
（ⅲ）當$\frac{a}{2}＞1$時，g（x）在$（\frac{1}{e}，1）$上單調遞增，$（1，\frac{a}{2}）$單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增，由$g（\frac{a}{2}）＜g（1）=0$知不符合題意．
綜上，a的取值范圍是$a≤e+\frac{1}{e}-2$．

點評 本題考查利用導數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，考查利用導數(shù)求函數(shù)的最值，著重考查了分類討論的數(shù)學思想方法，考查數(shù)學轉化思想方法，是壓軸題．