Question

7．求下列函數(shù)的值域：
（1）y=3-2x-x²，x∈[$-\frac{5}{2}$，$\frac{3}{2}$]；
（2）y=|x+1|+|2x-2|；
（3）y=x+$\sqrt{1-x}$；
（4）y=$\frac{2x-2}{x+1}$．

Answer 1

分析 （1）直接利用配方法求二次函數(shù)的值域；
（2）去絕對值得到分段函數(shù)，分段求出值域后取并集得答案；
（3）利用換元法化為二次函數(shù)求值域；
（4）把已知函數(shù)解析式變形，得到y(tǒng)=$\frac{2x-2}{x+1}$=$\frac{2（x+1）-4}{x+1}=-\frac{4}{x+1}+2$，由分式不為0可得函數(shù)的值域．

解答 解：（1）y=3-2x-x²=-（x+1）²+4，
∵x∈[$-\frac{5}{2}$，$\frac{3}{2}$]，∴當(dāng)x=$\frac{3}{2}$時，${y}_{min}=-\frac{9}{4}$．當(dāng)x=-1時，y_max=4．
∴y=3-2x-x²，x∈[$-\frac{5}{2}$，$\frac{3}{2}$]的值域為[-$\frac{9}{4}，4$]；
（2）y=|x+1|+|2x-2|=$\left\{\begin{array}{l}{-3x+1，x＜-1}\\{-x+3，-1≤x≤1}\\{3x-1，x＞1}\end{array}\right.$，
當(dāng)x＜-1時，y＞4．當(dāng)-1≤x≤1時，2≤y≤4．當(dāng)x＞1時，y＞2．
∴y=|x+1|+|2x-2|的值域為[2，+∞）；
（3）令$\sqrt{1-x}=t（t≥0）$，則1-x=t²，x=1-t²，
∴y=x+$\sqrt{1-x}$=g（t）=$-{t}^{2}+t+1=-（t-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{5}{4}$，
當(dāng)t=$\frac{1}{2}$時，函數(shù)有最大值為$\frac{5}{4}$．
∴y=x+$\sqrt{1-x}$的值域為（-∞，$\frac{5}{4}$]；
（4）y=$\frac{2x-2}{x+1}$=$\frac{2（x+1）-4}{x+1}=-\frac{4}{x+1}+2$，
∵$-\frac{4}{x+1}≠0$，∴$-\frac{4}{x+1}+2≠2$，
函數(shù)y=$\frac{2x-2}{x+1}$的值域為（-∞，2）∪（2，+∞）．

點評 本題考查函數(shù)的值域及其求法，考查了配方法、換元法等求函數(shù)值域的方法，是中檔題．