Question

3．已知函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱，且滿足f（x-2）=ax²-（a-3）x+（a-2）
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)g（x）=f（x）+x³-x的單調(diào)區(qū)間和極值；
（3）當(dāng)方程g（x）=1-m有三個不等的實(shí)數(shù)根時，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令x-2=t由整體換元的方法求函數(shù)f（x）的解析式；（2）求出g（x）的表達(dá)式，得到g（x）的導(dǎo)數(shù)，解得g（x）的單調(diào)區(qū)間，從而求出其極值；（3）解不等式0＜1-m＜$\frac{32}{27}$即可．

解答 解：（1）令x-2=t，則x=t+2．
由于f（x-2）=ax²-（a-3）x+（a-2），
所以f（t）=a（t+2）²-（a-3）（t+2）+（a-2）
=at²+3（a+1）t+（3a+4）
∴f（x）=ax²+3（a+1）x+（3a+4）
∵y=f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱
∴a≠0且3（a+1）=0，即a=-1
故f（x）=-x²+1；
（2）g（x）=f（x）+x³-x=x³-x²-x+1，
g′（x）=3x²-2x-1=（3x+1）（x-1），
令g′（x）＞0，解得：x＞1或x＜-$\frac{1}{3}$，
令g′（x）＜0，解得：-$\frac{1}{3}$＜x＜1，
∴g（x）在（-∞，-$\frac{1}{3}$）遞增，在（-$\frac{1}{3}$，1）遞減，在（1，+∞）遞增，
∴g（x）_極大值=g（-$\frac{1}{3}$）=$\frac{32}{27}$，g（x）_極小值=g（1）=0；
（3）由（2）得：0＜1-m＜$\frac{32}{27}$時，方程g（x）=1-m有三個不等的實(shí)數(shù)根，
解得：-$\frac{5}{27}$＜m＜1．

點(diǎn)評 本題主要考查求函數(shù)解析式和根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求值的問題．求函數(shù)的解析式時一般用換元法、湊配法、方程法等，考查函數(shù)的交點(diǎn)問題，是一道中檔題．