Question

15．已知y=f（x）是奇函數(shù)在定義域（-1，1）上是減函數(shù)，且f（1-a）+f（1-3a）＞0，則a的取值范圍是（$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$）．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，將不等式f（1-a）+f（1-3a）＞0移項(xiàng)，整理得f（1-a）＞f（3a-1）．因?yàn)閒（x）函數(shù)為定義在（-1，1）上的減函數(shù)，所以有-1＜3a-1＞1-a＜1，解之即得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：：∵f（1-a）+f（1-3a）＞0
∴移項(xiàng)，得f（1-a）＞-f（1-3a）
又∵f（x）在（-1，1）上為奇函數(shù)
∴-f（1-3a）=f（3a-1）
且-1＜1-3a＜1…①，
∴f（1-a）＞f（3a-1）
又∵f（x）是定義在（-1，1）上的減函數(shù)
∴1-a＜3a-1且-1＜1-a＜1…②，
聯(lián)解①②，得$\frac{1}{2}$＜a＜$\frac{2}{3}$，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為（$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$）．
故答案為：（$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題給出一個(gè)定義在（-1，1）上的抽象函數(shù)，在已知其單調(diào)性和奇偶性的情況下，解關(guān)于a的不等式，著重考查了函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．