Question

18．已知函數(shù)f（x）=x³+x²-ax+1，且f'（1）=4．
（1）求函數(shù)f（x）的極值；
（2）當(dāng)0≤x≤a+1時，證明：$\frac{e^x}{{f（x）-{x^3}}}＞x$．

Answer 1

分析 （1）依題意，f'（x）=3x²+2x-a，f'（1）=3+2-a=4，a=1，可得f'（x）=3x²+2x-1=（3x-1）（x+1），
利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得出極值．
（2）由（1）知a=1，令$φ（x）=\frac{e^x}{{f（x）-{x^3}}}=\frac{e^x}{{{x^2}-x+1}}$，則$φ'（x）=\frac{{{e^x}（{{x^2}-x+1}）-（{2x-1}）{e^x}}}{{{{（{{x^2}-x+1}）}^2}}}=\frac{{{e^x}（{x-1}）（{x-2}）}}{{{{（{{x^2}-x+1}）}^2}}}$，
可知φ（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，2）上單調(diào)遞減，令g（x）=x．利用單調(diào)性分別研究其極值與最值即可得出結(jié)論．

解答 （1）解：依題意，f'（x）=3x²+2x-a，f'（1）=3+2-a=4，a=1，
故f'（x）=3x²+2x-1=（3x-1）（x+1），
令f'（x）＞0，則x＜-1或$x＞\frac{1}{3}$；令f'（x）＜0，則$-1＜x＜\frac{1}{3}$，
故當(dāng)x=-1時，函數(shù)f（x）有極大值f（-1）=2，當(dāng)$x=\frac{1}{3}$時，函數(shù)f（x）有極小值$f（{\frac{1}{3}}）=\frac{22}{27}$．
（2）證明：由（1）知a=1，令$φ（x）=\frac{e^x}{{f（x）-{x^3}}}=\frac{e^x}{{{x^2}-x+1}}$，
則$φ'（x）=\frac{{{e^x}（{{x^2}-x+1}）-（{2x-1}）{e^x}}}{{{{（{{x^2}-x+1}）}^2}}}=\frac{{{e^x}（{x-1}）（{x-2}）}}{{{{（{{x^2}-x+1}）}^2}}}$，
可知φ（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，2）上單調(diào)遞減，令g（x）=x．
①當(dāng)x∈[0，1]時，φ（x）_min=φ（0）=1，g（x）_max=1，所以函數(shù)φ（x）的圖象在g（x）圖象上方．
②當(dāng)x∈[1，2]時，函數(shù)φ（x）單調(diào)遞減，所以其最小值為$φ（2）=\frac{e^2}{3}$，g（x）最大值為2，而$\frac{e^2}{3}＞2$，
所以函數(shù)φ（x）的圖象也在g（x）圖象上方，綜上可知，當(dāng)0≤x≤a+1時，$\frac{e^x}{{f（x）-{x^3}}}＞x$．

點(diǎn)評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、方程與不等式的解法、分類討論方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．