Question

如圖，M是拋物線y²=x上的一點(diǎn)，動弦 ME、MF分別交x軸于A、B兩點(diǎn)，且?|MA|=|MB|.

（1）若M為定點(diǎn)，證明：直線EF的斜率為定值；

（2）若M為動點(diǎn)，且∠EMF=90°，求△EMF的重心G的軌跡方程.

Answer 1

（1）證明：設(shè)M（y₀²,y₀），直線ME的斜率為?k(k＞0),則直線MF的斜率為-k，

直線ME的方程為y-y₀=k(x-y₀²).

由得

ky²-y+y₀(1-ky₀)=0.

解得y₀·y_E=,

∴y_E=,∴x_E=.

同理可得y_F=,∴x_F=.

∴k_EF=（定值）.

（2）解析：當(dāng)∠EMF=90°時(shí)，∠MAB=45°，所以k=1，由（1）得E（（1-y₀）²,（1-y₀)）F（（1+y₀）²,-(1+y₀)）.

設(shè)重心G（x,y），則有

消去參數(shù)y₀,得y²= (x＞0).