Question

2．已知函數(shù)f（x）=x+$\frac{2}{x}$，用定義證明f（x）在（0，1）上是減函數(shù)．

Answer 1

分析 按照取值、作差、變形定號(hào)，下結(jié)論的步驟進(jìn)行證明，作差后要因式分解．

解答 證明：設(shè)x₁、x₂∈（0，1），且x₁＜x₂，則
f（x₁）-f（x₂）=x₁+$\frac{2}{{x}_{1}}$-x₂-$\frac{2}{{x}_{2}}$=$\frac{{（x}_{1}{-x}_{2}）{{（x}_{1}x}_{2}-1）}{{{x}_{1}x}_{2}}$，
∵x₁、x₂∈（0，1），∴x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜1，
∴$\frac{{（x}_{1}{-x}_{2}）{{（x}_{1}x}_{2}-1）}{{{x}_{1}x}_{2}}$＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0
∴f（x₁）＞f（x₂）
∴（x）在（0，1）上是減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，證明函數(shù)的單調(diào)性按照取值、作差、變形定號(hào)，下結(jié)論的步驟進(jìn)行．