Question

16．已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，點P在棱AA1上，若三棱錐P-BB₁C₁與三棱錐P-A₁B₁C₁的體積比為3，則$\frac{P{A}_{1}}{PA}$=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 不適一般性，以正三棱柱為例，設(shè)底面邊長為a，高為h，PA₁=h′，求出三棱錐P-BB₁C₁與三棱錐P-A₁B₁C₁的體積，利用三棱錐P-BB₁C₁與三棱錐P-A₁B₁C₁的體積比為3，求出$\frac{P{A}_{1}}{PA}$．

解答 解：不適一般性，以正三棱柱為例，設(shè)底面邊長為a，高為h，PA₁=h′，則
三棱錐P-BB₁C₁的體積為$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×a×h×\frac{\sqrt{3}}{2}a$=$\frac{\sqrt{3}}{12}{a}^{2}h$，
三棱錐P-A₁B₁C₁的體積為$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}h′$=$\frac{\sqrt{3}}{12}ah′$，
∵三棱錐P-BB₁C₁與三棱錐P-A₁B₁C₁的體積比為3，
∴h=3h′，
∴$\frac{P{A}_{1}}{PA}$=$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$

點評 本題考查三棱錐的體積的計算，考查學(xué)生的計算能力，正確求體積是關(guān)鍵．