Question

20．已知函數(shù)f（x）=e^x-m-$\sqrt{x}$（x≥0）．
（1）當(dāng)f（x）≥0恒成立時，求實數(shù)m的取值范圍；
（2）當(dāng)m≤2時，求證：f（x）＞ln$\frac{1}{2e}$．

Answer 1

分析 （1）由題意可得x-m≥ln$\sqrt{x}$，即m≤x-$\frac{1}{2}$lnx，令g（x）=x-$\frac{1}{2}$lnx，求出導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間可得最小值，進(jìn)而得到m的范圍；
（2）x∈（0，+∞）時，e^x-m≥e^x-2≥x-1恒成立，要證f（x）＞ln$\frac{1}{2e}$，只要證x-1＞$\sqrt{x}$+ln$\frac{1}{2e}$，運用配方和二次函數(shù)的值域求法，即可得證．

解答 解：（1）f（x）≥0恒成立即為e^x-m≥$\sqrt{x}$，
即有x-m≥ln$\sqrt{x}$，即m≤x-$\frac{1}{2}$lnx，
令g（x）=x-$\frac{1}{2}$lnx，g′（x）=1-$\frac{1}{2x}$，
當(dāng)x＞$\frac{1}{2}$時，g′（x）＞0，g（x）遞增；
當(dāng)0＜x＜$\frac{1}{2}$時，g′（x）＜0，g（x）遞減．
則x=$\frac{1}{2}$處取得最小值，且為$\frac{1}{2}$（1+ln2），
即有m≤$\frac{1}{2}$（1+ln2）；
（2）證明：由e^x-（x+1）的導(dǎo)數(shù)為e^x-1，當(dāng)x＞0時，e^x＞1，
當(dāng)x＜0時，e^x＜1，即有x=0時，取得最小值0，
即有e^x≥x+1，
即有當(dāng)m≤2時，x∈（0，+∞）時，
e^x-m≥e^x-2≥x-1恒成立，
要證f（x）＞ln$\frac{1}{2e}$，只要證x-1＞$\sqrt{x}$+ln$\frac{1}{2e}$，
而x-1-$\sqrt{x}$=（$\sqrt{x}$-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{5}{4}$≥-$\frac{5}{4}$，
當(dāng)x=$\frac{1}{4}$時，取得最小值-$\frac{5}{4}$，
-$\frac{5}{4}$＞-ln（2e），
故x-1＞$\sqrt{x}$+ln$\frac{1}{2e}$成立，
即有f（x）＞ln$\frac{1}{2e}$成立．

點評 本題考查不等式的恒成立問題的解法，注意運用參數(shù)分離，同時考查不等式的證明，注意運用已知不等式和分析法證明，屬于中檔題．