Question

12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x²+bx+c與x軸分別交于點A（-4，0），B（2，0），與y軸交于點C，其對稱軸與AC交于點M，點D在這條拋物線上，且在第三象限．
（1）求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
（2）求DM∥AB時點D的坐標(biāo)；
（3）連結(jié)AB、DC，得到四邊形ABCD，則四邊形ABCD面積的最大值為16．

Answer 1

分析 （1）由題意可知點的坐標(biāo)適合方程，可得bc的方程組，解方程組可得；
（2）易得直線AC的方程和對稱軸方程，由平行關(guān)系可得D的縱坐標(biāo)為-6，把y=-6代入y=x²+2x-8解方程可得；
（3）由距離公式易得S_△ACB，設(shè)D到AC的距離為d₂，則d₂的最大值即為平行與AC的切線與AC的距離，再由距離公式可得d₂的最大值，可得四邊形ABCD面積S=S_△ACB+S_△ACD的最大值．

解答 解：（1）由題意可知拋物線y=x²+bx+c過點A（-4，0）和B（2，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{16-4b+c=0}\\{4+2b+c=0}\end{array}\right.$，解方程組可得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=-8}\end{array}\right.$，
∴拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=x²+2x-8；
（2）令x=0可得y=-8，即C（0，-8），
∴直線AC的方程為$\frac{x}{-4}$+$\frac{y}{-8}$=1，對稱軸方程為x=-1，
把x=-1代入$\frac{x}{-4}$+$\frac{y}{-8}$=1可得y=-6，即M（-1，-6），
∵DM∥AB，∴D的縱坐標(biāo)為-6，
把y=-6代入y=x²+2x-8可解得x=-1-$\sqrt{3}$或x=-1+$\sqrt{3}$，
∵D在第三象限，∴D（-1-$\sqrt{3}$，-6）；
（3）化直線AC的方程為一般式可得2x+y+8=0，
設(shè)B到AC的距離為d₁，則d₁=$\frac{|2×2+0+8|}{\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$，
又可得|AC|=$\sqrt{（-4）^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴S_△ACB=$\frac{1}{2}×\frac{12\sqrt{5}}{5}×2\sqrt{5}$=12，
設(shè)D到AC的距離為d₂，則d₂的最大值即為平行與AC的切線與AC的距離，
設(shè)平行與AC的切線方程為2x+y+t=0，聯(lián)立y=x²+2x-8消y可得
x²+4x+t-8=0，由△=16-4（t-8）=0可得t=12，
由距離公式可得d₂的最大值為$\frac{|8-12|}{\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
由題意可得四邊形ABCD面積S=S_△ACB+S_△ACD
∴S的最大值為12+$\frac{1}{2}×2\sqrt{5}×\frac{4\sqrt{5}}{5}$=16
故答案為：16

點評 本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，涉及距離公式以及拋物線的切線，屬中檔題．