Question

7．第一象限內(nèi)點P在x軸、y軸上的投影分別是A和B，若矩形APBO的周長為定值2m，試證明：過P垂直于AB的直線PC恒過定點，并求出頂點坐標(biāo)．

Answer 1

分析 設(shè)出P的坐標(biāo)，求出PC的方程，判斷求解即可．

解答 解：設(shè)A（a，0），則P（a，m-a），a∈（0，m），
則B（0，m-a），
PC的斜率為：$\frac{a}{m-a}$，
PC的方程為：y-（m-a）=$\frac{a}{m-a}$（x-a），
即：（m-a）y-（m-a）（m-a）-a（x-a）=0，
即：my-ay-m²+2am-ax=0，
可得my-m²-a（x+y-2m）=0，
由$\left\{\begin{array}{l}my={m}^{2}\\ x+y-2m=0\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}x=m\\ y=m\end{array}\right.$，
直線PC恒過（m，m）．

點評 本題考查直線系方程的應(yīng)用，直線方程的求法，考查計算能力．