Question

過(guò)橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）右焦點(diǎn)F斜率為1的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，向量

OA

+

OB

與向量

α

=（-3，1）共線，則該橢圓的離心率為（　�。�

• A、

  3

  3

• B、

  6

  3

• C、

  3

  4

• D、

  2

  3

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：直線與橢圓方程聯(lián)立，用韋達(dá)定理，可得A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，據(jù)向量共線的條件得橢圓中a，b，c的關(guān)系，從而求得橢圓的離心率．

解答：解：由題意，直線AB的方程為y=x-c，代入橢圓方程，
化簡(jiǎn)得（a²+b²）x²-2a²cx+a²c²-a²b²=0．
令A(yù)（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=

2a2c

a2+b2

，x₁x₂=

a2c2-a2b2

a2+b2

，
∵

OA

+

OB

=（x₁+x₂，y₁+y₂），與

α

=（-3，1）共線，
∴3（y₁+y₂）+（x₁+x₂）=0，又y₁=x₁-c，y₂=x₂-c，
∴3（x₁+x₂-2c）+（x₁+x₂）=0，
∴x₁+x₂=

3

2

c，
∴

2a2c

a2+b2

=

3

2

c
∴a²=3b²．
∴c=

a2-b2

=

6

3

a，
∴離心率e=

c

a

=

6

3

．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：考查向量共線為圓錐曲線提供已知條件；處理直線與圓錐曲線位置關(guān)系常用的方法是直線與圓錐曲線方程聯(lián)立用韋達(dá)定理．