Question

8．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若$\sqrt{3}$（acosB+bcosA）=2csinC，a+b=4，且△ABC的面積的最大值為$\sqrt{3}$，則此時△ABC的形狀為等腰三角形．

Answer 1

分析 由$\sqrt{3}$（acosB+bcosA）=2csinC及正弦定理可得$\sqrt{3}$（sinAcosB+sinBcosA）=2sin²C，結合sinC＞0，化簡可得sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，由a+b=4，利用基本不等式可得ab≤4，（當且僅當a=b=2成立），由△ABC的面積的最大值S_△ABC=$\frac{1}{2}absinC$≤$\frac{1}{2}×4×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，即可解得a=b=2，從而得解△ABC的形狀為等腰三角形．

解答 解：∵$\sqrt{3}$（acosB+bcosA）=2csinC，
∴$\sqrt{3}$（sinAcosB+sinBcosA）=2sin²C，
∴$\sqrt{3}$sinC=2sin²C，且sinC＞0，
∴sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵a+b=4，可得：4$≥2\sqrt{ab}$，解得：ab≤4，（當且僅當a=b=2成立）
∵△ABC的面積的最大值S_△ABC=$\frac{1}{2}absinC$≤$\frac{1}{2}×4×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∴a=b=2，
∴則此時△ABC的形狀為等腰三角形．
故答案為：等腰三角形．

點評 本題主要考查了正弦定理，三角形面積公式，基本不等式的應用，屬于基本知識的考查．