Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x^2}{{{x^2}+1}}$．
（1）證明對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有f（x）=f（|x|），說明f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性并證明之；
（2）記A=f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+…+f（100），$B=f（1）+f（\frac{1}{2}）+f（\frac{1}{3}）+f（\frac{1}{4}）+…+f（\frac{1}{100}）$，求A+B的值；
（3）若實(shí)數(shù)x₁，x₂滿足f（x₁）+f（x₂）＞1．求證：|x₁x₂|＞1．

Answer 1

分析 （1）對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有$f（|x|）=\frac{{|x{|^2}}}{{|x{|^2}+1}}$=$\frac{x^2}{{{x^2}+1}}=f（x）$，利用定義法能證明f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)遞增．
（2）由已知得$f（x）+f（\frac{1}{x}）$=1，由此能求出A+B的值．
（3）法一：由f（x₁）+f（x₂）＞1，得到$\frac{{{x_1}^2}}{{{x_1}^2+1}}+\frac{{{x_2}^2}}{{{x_2}^2+1}}＞1$，由此能證明|x₁x₂|＞1．
法二：當(dāng)f（x₁）+f（x₂）＞1時(shí)，x₁，x₂均不為0，由f（x₁）+f（x₂）＞1得f（x₁）＞1-f（x₂），由此能證明|x₁x₂|＞1．

解答 （1）解：∵函數(shù)f（x）=$\frac{x^2}{{{x^2}+1}}$，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有f（x）=f（|x|），
∴對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有$f（|x|）=\frac{{|x{|^2}}}{{|x{|^2}+1}}$=$\frac{x^2}{{{x^2}+1}}=f（x）$，（1分）
f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)遞增，證明如下：（2分）
任取x₁，x₂∈（0，+∞），x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{{x_1}^2}}{{{x_1}^2+1}}-\frac{{{x_2}^2}}{{{x_2}^2+1}}=\frac{{{x_1}^2（{x_2}^2+1）-{x_2}^2（{x_1}^2+1）}}{{（{x_1}^2+1）（{x_2}^2+1）}}$
=$\frac{{{x_1}^2-{x_2}^2}}{{（{x_1}^2+1）（{x_2}^2+1）}}=\frac{{（{x_1}-{x_2}）（{x_1}+{x_2}）}}{{（{x_1}^2+1）（{x_2}^2+1）}}$，
∵x₂＞x₁＞0，∴x₁-x₂＜0，x₁+x₂＞0
而$（{x_1}^2+1）（{x_2}^2+1）＞0$，
∴$\frac{{（{x_1}-{x_2}）（{x_1}+{x_2}）}}{{（{x_1}^2+1）（{x_2}^2+1）}}＜0$，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)遞增．（5分）
（2）解：當(dāng)x≠0時(shí)，$f（x）+f（\frac{1}{x}）=\frac{x^2}{{{x^2}+1}}+\frac{{\frac{1}{x^2}}}{{\frac{1}{x^2}+1}}=\frac{x^2}{{{x^2}+1}}+\frac{1}{{{x^2}+1}}=1$（7分）
∴$A+B=[f（1）+f（1）]+[f（2）+f（\frac{1}{2}）]+…+[f（100）+f（\frac{1}{100}）]$=100（9分）
（3）證法一：∵f（x₁）+f（x₂）＞1，
∴$\frac{{{x_1}^2}}{{{x_1}^2+1}}+\frac{{{x_2}^2}}{{{x_2}^2+1}}＞1$，∴${x_1}^2（{x_2}^2+1）+{x_2}^2（{x_1}^2+1）＞（{x_1}^2+1）（{x_2}^2+1）$，∴${x_1}^2{x_2}^2＞1$，
∴|x₁x₂|＞1．（12分）
證法二：當(dāng)f（x₁）+f（x₂）＞1時(shí)，x₁，x₂均不為0，
否則，假設(shè)x₁=0，則f（x₁）=0，而f（x₁）＜1，則f（x₁）+f（x₂）＜1，矛盾�。�10分）
由f（x₁）+f（x₂）＞1得f（x₁）＞1-f（x₂）
由結(jié)論（2）知$1-f（{x_2}）=f（\frac{1}{x_2}）$，所以$f（{x_1}）＞f（\frac{1}{x_2}）$（11分）
又結(jié)合結(jié)論（1）有$f（|{x_1}|）＞f（|\frac{1}{x_2}|）⇒|{x_1}|＞|\frac{1}{x_2}|⇒$|x₁x₂|＞1．
∴|x₁x₂|＞1．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷與證明，考查函數(shù)值的求法，考查不等式的證明，綜合性強(qiáng)，難度大，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件合理運(yùn)用．