Question

2．如圖，已知橢圓M：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），焦距為2c（c＞0），其離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，$\frac{a^2}{c}=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$．B，C分別為橢圓M的上、下頂點(diǎn)，過點(diǎn)T（t，2）（t≠0）的直線TB，TC分別交橢圓M于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．
（1）求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若△TBC的面積是△TEF的面積的k倍，求k的最大值．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的離心率公式和準(zhǔn)線方程，結(jié)合橢圓的a，b，c的關(guān)系，計算即可得到；
（2）分別求出直線PB，TC的方程，代入橢圓方程，求得交點(diǎn)E，F(xiàn)的橫坐標(biāo)，再由三角形的面積公式，結(jié)合二次函數(shù)，計算即可得到最大值．

解答 解：（1）由題意得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{2{a}^{2}}{c}=\frac{8\sqrt{3}}{3}$解得a=2，c=$\sqrt{3}$，b=1，
則橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）由B（0，1），C（0，-1），T（t，2），
則直線TB：y=$\frac{1}{t}$x+1，代入橢圓方程可得${x}_{F}=\frac{-8t}{{t}^{2}+4}$，直線TC方程為：y=$\frac{3}{t}x-1$，
聯(lián)立橢圓解得${x}_{F}=\frac{24t}{{t}^{2}+36}$$k=\frac{{S}_{△TBC}}{{S}_{△TEF}}=\frac{\frac{1}{2}TB×TC×sin∠BTC}{\frac{1}{2}TE×TF×sin∠ETF}$
=$\frac{TB×TC}{TE×TF}=\frac{TB}{TE}×\frac{TC}{TF}=\frac{{x}_{T}-{x}_{B}}{{x}_{T}-{x}_{E}}×\frac{{x}_{T}-{x}_{C}}{{x}_{T}-{x}_{F}}$
=$\frac{t}{t+\frac{8t}{{t}^{2}+4}}×\frac{t}{t-\frac{24t}{{t}^{2}+36}}=\frac{（{t}^{2}+4）（{t}^{2}+36）}{（{t}^{2}+12）（{t}^{2}+12）}$
令t²+12=m＞12，則$k=\frac{（m-8）（m+24）}{{m}^{2}}=1+\frac{16}{m}-\frac{192}{{m}^{2}}≤\frac{4}{3}$
當(dāng)且僅當(dāng)m=24，即t=$±2\sqrt{3}$等號成立，所以k的最大值為$\frac{4}{3}$

點(diǎn)評 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的離心率和方程的運(yùn)用，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，求得交點(diǎn)，同時考查三角形的面積公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．