Question

12．已知直線x+y=a與圓x²+y²=4相交于A，B兩點，且$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=（2，2），其中O為坐標原點，則實數(shù)a的值為±2．

Answer 1

分析 利用$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=（2，2），可得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．聯(lián)立直線x+y=a與圓x²+y²=4，化為2x²-2ax+a²-4=0．△＞0．得到根與系數(shù)的關(guān)系，利用$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，可得x₁x₂+y₁y₂=0，代入計算即可．

解答 解：∵$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=（2，2），
∴$\overrightarrow{OA}$²+$\overrightarrow{OB}$²+2$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=8，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立直線x+y=a與圓x²+y²=4，化為2x²-2ax+a²-4=0．
△=4a²-8（a²-4）=4（8-a²）＞0．（*）．
∴x₁+x₂=a，x₁x₂=$\frac{{a}^{2}-4}{2}$．
∵$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，
∴x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（a-x₁）（a-x₂）=2x₁x₂-a（x₁+x₂）+a²=0，
∴a²-4-a²+a²=0，
解得a=±2，滿足（*）．
故答案為：±2．

點評 本題考查了直線與圓相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．