Question

17．某同學在生物研究性學習中，對春季晝夜溫差大小與黃豆種子發(fā)芽多少之間的關(guān)系進行觀測研究，于是他在4月份的30天中隨機挑選了5天進行研究，且分別記錄了每天晝夜溫差與每天每100顆種子浸泡后的發(fā)芽數(shù)，得到如下資料：

日  期	4月1日	4月7日	4月15日	4月21日	4月30日
溫差x/℃	10	11	13	12	8
發(fā)芽數(shù)y/顆	23	25	30	26	16

（Ⅰ）從這5天中任選2天，記發(fā)芽的種子數(shù)分別為m、n，求事件“m、n均不小于25”的概率；
（Ⅱ）請根據(jù)4月7日、4月15日、4月21日三天的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程$\hat y=\hat bx+\hat a$；
（Ⅲ）若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過2顆，則認為得到的線性回歸方程是可靠的，若選取的是4月1日與4月30日的兩組數(shù)據(jù)作為檢驗數(shù)據(jù)，試問（Ⅱ）中所得的線性回歸方程是否可靠？
參考公式：$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}$，$\hat a=\overline y-\hat b\overline x$；
參考數(shù)據(jù)：11×25+13×30+12×26=977，11²+13²+12²=434．

Answer 1

分析 （I）列出（m，n）的所有取值情況，設(shè)“m、n均不小于25”為事件A，找出事件A包含的基本事件個數(shù)，即可求解事件A的概率．
（II）求出y關(guān)于x的線性回歸方程的相關(guān)數(shù)值即可．
（III）通過x=10時，x=8時，計算估計數(shù)據(jù)，然后判斷線性回歸方程是否可靠．

解答 解：（I）（m，n）的所有取值情況有
（23，25），（23，30），（23，26），（23，16），（25，30）（25，26），（25，16），（30，26），（30，16），（26，16），
共有10個，…（2分）
設(shè)“m、n均不小于25”為事件A，則事件A包含的基本事件有
（25，30），（25，26）（30，26），
∴$P（A）=\frac{3}{10}$，故事件A的概率為$\frac{3}{10}$；…（4分）
（II）由數(shù)據(jù)得$\overline x=12，\overline y=27$，$3\overline x\overline y=972$，$3{\overline x^2}=432$，
又$\sum_{i=1}^3{{x_i}{y_i}}=977$，$\sum_{i=1}^3{{x_i}^2}=434$，∴$\hat b=\frac{977-972}{434-432}=\frac{5}{2}$，$\hat a=27-\frac{5}{2}×12=-3$．
∴y關(guān)于x的線性回歸方程為$\hat y=\frac{5}{2}x-3$；…（8分）
（III）當x=10時，$\hat y=22$，|22-23|＜2，當x=8時，$\hat y=17$，|17-16|＜2，
∴得到的線性回歸方程是可靠的．…（12分）

點評 本題考查概率的求法，回歸直線方程的求法，考查計算能力．