Question

2．已知f（x）是定義在R上且周期為4的函數(shù)，在區(qū)間[-2，2]上，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}mx+2，-2≤x＜0\\ \frac{nx-2}{x+1}，0≤x≤2\end{array}\right.$，其中m，n∈R，若f（1）=f（3），則$\frac{1}{4}\int_{-1}^3{（mx+n}）dx$=8．

Answer 1

分析 由函數(shù)的周期性可得f（-2）=f（2），f（1）=f（-1），可得m和n的方程組，解方程組求解定積分可得．

解答 解：∵f（x）是定義在R上且周期為4的函數(shù)，在區(qū)間[-2，2]上
有$f（x）=\left\{\begin{array}{l}mx+2，-2≤x＜0\\ \frac{nx-2}{x+1}，0≤x≤2\end{array}\right.$，且f（1）=f（3），
∴f（-2）=f（2），f（1）=f（3）=f（-1），
∴-2m+2=$\frac{2n-2}{3}$，$\frac{n-2}{2}$=-m+2，
聯(lián)立解得m=-2，n=10，
∴$\frac{1}{4}\int_{-1}^3{（mx+n}）dx$=$\frac{1}{4}$•（$\frac{1}{2}$mx²+nx）${|}_{-1}^{3}$=m+n=8
故答案為：8

點評 本題考查定積分的求解，涉及分段函數(shù)以及函數(shù)的周期性，屬中檔題．