Question

15．在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（1，0），B（2，1），C（1，$\frac{3}{2}$），點(diǎn)P（x，y）在△ABC三邊圍成的區(qū)域（含邊界）內(nèi)，且$\overrightarrow{OP}$=m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{BC}$（m，n∈R）．
（1）若m=-2，n=2，求|$\overrightarrow{OP}$|；
（2）用x，y表示2m-$\frac{n}{2}$，并求2m-$\frac{n}{2}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，求出向量$\overrightarrow{OP}$以及模長(zhǎng)|$\overrightarrow{OP}$|；
（2）利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，用x、y表示出2m-$\frac{1}{2}$n，利用線性規(guī)劃求出它的最值即可．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A（1，0），B（2，1），C（1，$\frac{3}{2}$），
∴$\overrightarrow{AB}$=（1，1），$\overrightarrow{BC}$=（-1，$\frac{1}{2}$）；
∴當(dāng)m=-2，n=2時(shí)，
$\overrightarrow{OP}$=-2$\overrightarrow{AB}$+2$\overrightarrow{BC}$
=-2（1，1）+2（-1，$\frac{1}{2}$）
=（-2-2，-2+1）
=（-4，-1）；
∴|$\overrightarrow{OP}$|=$\sqrt{{（-4）}^{2}{+（-1）}^{2}}$=$\sqrt{17}$；
（2）∵$\overrightarrow{OP}$=m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{BC}$
=m（1，1）+n（-1，$\frac{1}{2}$）
=（m-n，m+$\frac{1}{2}$n），
設(shè)$\overrightarrow{OP}$=（x，y），則$\left\{\begin{array}{l}{x=m-n}\\{y=m+\frac{1}{2}n}\end{array}\right.$，
∴兩式相加得，2m-$\frac{1}{2}$n=x+y；
令x+y=t，y=-x+t
由圖可知，

當(dāng)直線y=-x+t過(guò)點(diǎn)B（2，1）時(shí)，t取得最大值是2+1=3，
當(dāng)直線y=-x+t過(guò)點(diǎn)A（1，0）時(shí)，t取得最小值是1+0=1，
∴2m-$\frac{n}{2}$的取值范圍是[1，3]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算問(wèn)題，也考查了線性規(guī)劃的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．