Question

8．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{{e}^{x}-a}$（e為自然對數(shù)的底數(shù)，a∈R），若存在x∈[0，1]，使f（f（x））=x成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1，e-1]．

Answer 1

分析 利用反函數(shù)將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再將解方程問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象交點(diǎn)問題．

解答 解：∵存在x∈[0，1]，使f（f（x））=x成立，
∴存在x∈[0，1]，使f（x）=f^-1（x），
即函數(shù)f（x）與其反函數(shù)f^-1（x）在[0，1]上有交點(diǎn)．
∵f（x）=$\sqrt{{e}^{x}-a}$（在[0，1]上為增函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）與其反函數(shù)f^-1（x）在[0，1]的交點(diǎn)在直線y=x上，
即函數(shù)f（x）與其反函數(shù)f^-1（x）的交點(diǎn)就是f（x）與y=x的交點(diǎn)．
令$\sqrt{{e}^{x}-a}$=x，則方程在[0，1]上一定有解．
∴a=e^x-x²，
設(shè)g（x）=e^x-x²，
則g′（x）=e^x-2x，令h（x）=e^x-2x，h′（x）=e^x-2，
當(dāng)x＞ln2時，h′（x）＞0，當(dāng)x＜ln2時，h′（x）＜0，
即有x=ln2處取得最小值2-2ln2＞0，
即g′（x）＞0在[0，1]上恒成立，
∴g（x）=e^x-x²在[0，1]上遞增，
∴a=g（x）≥g（0）=1，
g（x）≤g（1）=e-1；
綜上可知，1≤a≤e-1．
故答案為：[1，e-1]．

點(diǎn)評 本題主要考察了復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，屬于難題．