Question

11．用反證法證明：若a，b，c，d均為小于1的正數(shù)，且x=4a（1-b），y=4b（1-c），z=4c（1-d），t=4d（1-a），則x，y，z，t四個(gè)數(shù)中，至少有一個(gè)不大于1．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，假設(shè)原命題不成立，得出矛盾的結(jié)論，即可證原命題成立．

解答 證明：用反證法，
假設(shè)x，y，z，t均為小于1的正數(shù)，則4a（1-b）≤[a+（1-b）]²=（a-b+1）²…①
4b（1-c）≤[b+（1-c）]²=（b-c+1）²…②
4c（1-d）≤[c+（1-d）]²=（c-d+1）²…③
4d（1-a）≤[d+（1-a）]²=（d-a+1）²…④
不妨就設(shè)4a（1-b）、4b（1-c）、4c（1-d）都大于1，顯然，可得：a-b＞0；b-c＞0；c-d＞0，
那么肯定a-d＞0，于是代入④中有：4d（1-a）＜1
同理可以證明當(dāng)某3項(xiàng)大于1時(shí)，剩下1項(xiàng)肯定小于1，
因此，4a（1-b）、4b（1-c）、4c（1-d）、4d（1-a）這四個(gè)數(shù)不可能都大于1，即原命題得證．

點(diǎn)評(píng) 本題考查反證法的運(yùn)用，注意反證法的步驟以及明確指出矛盾即可．