Question

13．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$．
（Ⅰ）求曲線在（-1，f（-1））處的切線方程；
（Ⅱ）若k＞0，求不等式f′（x）+k（1-x）f（x）＞0的解集．

Answer 1

分析 （1）求出導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程即可得到切線方程；
（2）將不等式化簡(jiǎn)得kx²-（k+1）x+1＜0，然后分情況討論即可．

解答 解：求導(dǎo)函數(shù)，可得f′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$，
∴f′（-1）=-$\frac{2}{e}$，f（-1）=$-\frac{1}{e}$．
∴曲線在（-1，f（-1））處的切線方程是y+$\frac{1}{e}$=-$\frac{2}{e}$（x+1）．
即2x+ey+3=0．
（2）$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$）+k（1-x）$\frac{{e}^{x}}{x}$＞0，
∵e^x＞0，x²＞0，
∴kx²-（k+1）x+1＜0．
令g（x）=kx²-（k+1）x+1．
△=（k+1）²-4k=-3k²+2k+1，
令△=0得k₁=-$\frac{1}{3}$（舍去），k₂=1，
∴當(dāng)0＜k＜1時(shí)，△＞0，則g（x）=0的根為x₁=$\frac{k+1-\sqrt{-3{k}^{2}+2k+1}}{2k}$＞0，
x₂=$\frac{k+1+\sqrt{-3{k}^{2}+2k+1}}{2k}$，
∴kx²-（k+1）x+1＜0的解集為（$\frac{k+1-\sqrt{-3{k}^{2}+2k+1}}{2k}$，$\frac{k+1+\sqrt{-3{k}^{2}+2k+1}}{2k}$）；
當(dāng)k≥1時(shí)，△≤0，∴kx²-（k+1）x+1＜0的解集為∅．
綜上所述：
當(dāng)0＜k＜1時(shí)，f′（x）+k（1-x）f（x）＞0的解集為（$\frac{k+1-\sqrt{-3{k}^{2}+2k+1}}{2k}$，$\frac{k+1+\sqrt{-3{k}^{2}+2k+1}}{2k}$）；
當(dāng)k≥1時(shí)，f′（x）+k（1-x）f（x）＞0的解集為∅．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，二次不等式的解法，涉及分類討論思想，是中檔題．